Il paradosso insiemistico del barbiere di Russell e il paradosso di Cantor


  • Paradosso di Russell (1902) o del barbiere

L’antinomia può essere enunciata, informalmente, quanto segue:

“In un villaggio vi è un solo barbiere, un uomo ben sbarbato, che rade tutti e solo gli uomini del villaggio che non si radono da soli. Chi rade il barbiere?”

  1. barber.630x360.jpgSe la risposta del paradosso fosse che il barbiere si radesse da solo verrebbe contraddetta la premessa secondo cui il barbiere rade solo gli uomini che non si radono da soli.
  2. Così se il barbiere non si radesse autonomamente, allora dovrebbe essere rasato dal barbiere, che però è lui stesso.

Sia per i casi 1. e 2. abbiamo quindi una contraddizione che nasce dal problema di dove vada incluso il barbiere. Per assurdo non possono esistere barbieri con le caratteristiche sopra citate.

Analogamente ed insiemisticamente possiamo identificare gli uomini che si radono da soli alla categoria degli insiemi che appartengono a se stessi e gli uomini che vengono rasati dal barbiere, non radendosi da soli, appartengono agli insiemi che non appartengono a se stessi.

Quindi,il barbiere è un insieme che appartiene a se stesso se e solo se non appartiene a se stesso.

Con più formalità:

reality_russell.gifIl paradosso di Russell è la più notevole smentita al principio di comprensione per cui un insieme è identificato come l’estensione di una proprietà, con tale paradosso si mise in discussione l’insiemistica ingenua cantoriana e il sistema logico fregeano. Dall’assioma di comprensione comprendiamo che, dato un predicato,esiste un insieme formato dagli elementi che godono di tale predicato. Poiché gli insiemi possono avere altri insiemi come elementi, risulta concettualmente chiaro che alcuni insiemi possono essere elementi di se stessi.

“L’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi appartiene a se stesso se e solo se non appartiene a se stesso.”

Supponendo che che qualunque sia la proprietà E(x), {x:E(x)} sia un insieme. Bertrand Russell considera precisamente la proprietà di un insieme di “non appartenere a se stesso”.

In questo caso definendo E(x) come x∉x anche R={x:x∉x} sarebbe un insieme.

Quindi: x∈R ⇔ x∉x per ogni insieme x.

Essendo R un insieme possiamo effettuare la sostituzione R∈R ⇔ R∉R.

R∈R ⇔ R∉R viola il principio di non contraddizione stabilito dalla logica classica (un enunciato non può essere vero o falso in contemporanea, facendo banalmente un esempio non può piovere se e sole se non piove quindi R non può appartenere (∈) a R se e solo se non appartiene a se stesso ).

Si tratta di una conclusione evidentemente inaccettabile, che deriva da premesse evidentemente accettabili per mezzo di un ragionamento evidentemente accettabile.

Definizione di paradosso secondo Mark Sainsbury.

In matematica un paradosso è una proposizione che, date delle ipotesi, ci conduce ad una conclusione lontana dall’intuizione oppure ad una vera e propria contraddizione logica.

  • Paradosso di Cantor

Facendo riferimento al paradosso di Russell, il paradosso di Cantor conclude enunciando quanto segue: “Non vi è un universo insiemistico come insieme”, ovvero non vi è un insieme I che ha come elementi tutti gli insiemi.

Se tale insieme I esistesse, allora R={x∈I: x∉x} sarebbe ben definito. Ciò è impossibile per non contraddizione.

Da questo possiamo capire che “per ogni insieme S esiste un sottoinsieme S’ tale che S’∉S”.

Infatti se avessimo S’={x∈S: x∉x} come insieme allora y∈S’ ⇔ y∉y . Per dimostrare S’∉S escludiamo S’∈ S.

Allora se, per assurdo S’∈S, S’∈S’ ⇔ S’∉S’ : non possibile per non contraddizione.

(Cantor e la matematica del paradiso – Il Sole 24 Ore)

Il paradosso di Russell, che mise in crisi la matematica e il sistema logico dell’epoca, portò dalla teoria ingenua degli insiemi cantoriana alla definizione assiomatica degli insiemi come la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel.

Il paradosso di Russell portò anche alla scrittura dei teoremi di incompletezza di Gödel; il primo afferma che esistono delle proprietà vere, ma non dimostrabili, mentre il secondo afferma che nessun sistema, che sia abbastanza espressivo e coerente da contenere l’aritmetica, può essere utilizzato per dimostrare la sua stessa coerenza. Concludiamo, quindi, che non è possibile dimostrare che l’aritmetica di  Peano (per gli assiomi di Peano si veda Dimostrazioni ed il principio di induzione e Una costruzione dei Numeri Naturali e dei Reali) non generi contraddizioni e che sia dimostrabile,vale a dire che in ogni formalizzazione coerente della matematica che sia sufficientemente potente da poter assiomatizzare la teoria elementare dei numeri naturali  è possibile costruire una proposizione sintatticamente corretta che non può essere né dimostrata né confutata all’interno dello stesso sistema.

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Internet,diritti e democrazia nel ventunesimo secolo


Storicamente il bisogno di collegare i computer e i sistemi informatici in una rete

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ARPANET nel 1974.

continentale avvenne,durante la guerra fredda, per esigenze militari tramite il Dipartimento della difesa degli Stati Uniti; nacque, così il progetto A.R.P.A.N.E.T. .

Fu così che per iniziali scopi militari, il progetto divenne uno dei principali protagonisti dell’innovazione civile. Negli anni Settanta ed Ottanta A.R.P.A.N.E.T. estese i suoi nodi oltreoceano, sino ad arrivare al 1991,quando,presso il CERN di Ginevra, il ricercatore Tim Berners-Lee definì il protocollo HTTP, sistema di collegamento ipertestuale.

A seguito della diffusione pubblica, a partire dal 1993, del protocollo HTTP, si diede vita al World Wide Web.

Internet, divenuto sinonimo di globalizzazione, ha iniziato,ultimamente, la sua corsa verso il cosiddetto “Internet delle cose”, Internet of things, destinato ad essere uno dei maggiori protagonisti degli sviluppi tecnologici ed economici del prossimo futuro.

Dopo poco più di vent’anni dalla sua nascita tra Internet e l’Internet of things, la politica si sta interrogando sulla doverosità di una regolamentazione.

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Dichiarazione_dei_diritti_internet_pubblicata in pdf.

“L’accesso a Internet è diritto fondamentale della persona e condizione per il suo pieno sviluppo individuale e sociale”. Così recita l’articolo 2 della Dichiarazione dei diritti in Internet elaborato dalla Commissione per i diritti e i doveri relativi ad Internet della Camera dei Deputati, istituita per volontà della Presidente Laura Boldrini e presieduta da Stefano Rodotà  con il compito di arrivare alla stesura di un Internet bill of rights italiano con un’ambizione europea e globale.

La Dichiarazione dei diritti in Internet, tuttora solo allo stato di mozione di indirizzo, regola il futuro della Rete in Italia con un’ottica internazionale.

“La network neutrality è definita nel modo migliore come un principio di progettazione. L’idea è che una rete informativa pubblica massimamente utile aspiri a trattare tutti i contenuti, siti, e piattaforme allo stesso modo. Ciò permette alla rete di trasportare ogni forma di informazione e di supportare ogni tipo di applicazione. “

Tim Wu,avvocato ed accademico statunitense

La neutralità della rete, cioè una rete priva di restrizioni arbitrarie sui dispositivi connessi e sul modo in cui essi operano sia di servizi e sia di contenuti,  (Trump cancella la neutralità della Rete. Altra spallata all’eredità di Obama: d’ora in poi più spazio a chi paga – La Stampa), tutela dati personali,privacy,tutela dei minori,copyright, diritto all’oblio, anonimato e sicurezze necessitano di regole conformi tra gli Stati, data la dimensione universale e sovranazionale di Internet,per garantire il suo carattere aperto e democratico, impedendo ogni forma di discriminazione ed evitando che la sua disciplina dipenda dal potere esercitato da soggetti dotati di maggiore forza economica.

1. Ogni persona ha il diritto che i dati trasmessi e ricevuti in Internet non subiscano discriminazioni, restrizioni o interferenze in relazione al mittente, ricevente, tipo o contenuto dei dati, dispositivo utilizzato, applicazioni o, in generale, legittime scelte delle persone.
2. Il diritto ad un accesso neutrale ad Internet nella sua interezza è condizione necessaria per l’effettività dei diritti fondamentali della persona.

Comma 1 e 2 Articolo 4  Dichiarazione dei diritti in Internet.

Il mondo della rete si sta rendendo protagonista anche dei mezzi democratici dei Paesi, il voto elettronico, seppur con rischi ed eventuali falle superabili, probabilmente, da metodi di crittografia avanzati, allarga il bacino decisionale in materia  legislativa. In contrapposizione per avere metodi che amplificano il bacino partecipativo, bisogna sensibilizzare all’educazione e all’informazione vera dei contenuti trattati e lottare contro il digital divide con maggiore sensibilizzazione.

I partititi minori europei indicano la strada della cosiddetta “democrazia liquida” dove ognuno può cedere, in libero arbitrio, il diritto di voto delegandolo ad altri su certe tematiche creando dei “super votanti” aventi la delega di rappresentare più cittadini.

E’ necessario guardare al digitale e alla Rete come un’opportunità di crescita democratica e culturale prima ed economica poi del Paese.

In ottica di tale discussione rilasciamo, in allegato, la conferenza Ted, dal “No taxation without representation” delle colonie americane della Corona inglese al “No representation without a conversation” odierno.

(Come muoiono le democrazie nel ventunesimo secolo – The Vision)

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Una costruzione dei Numeri Naturali e dei Reali


  • NUMERI NATURALImathematics-1050x788.jpg

I numeri naturali, i mattoni fondamentali dell’aritmetica di base insegnata sin dalle scuole elementari, hanno storicamente incontrato diverse difficoltà di definizione.

Gli Assiomi di Peano (si veda Dimostrazioni ed il principio di Induzione per gli Assiomi) definiscono assiomaticamente l’insieme dei numeri naturali ed impongono le necessarie condizioni che qualsiasi definizione matematica dei naturali deve soddisfare.

Si può procedere a definire i numerali naturali per via insiemistica; la costruzione alla Von Neumann, datata 1923, definisce ogni numero naturale n come una classe di insiemi con cardinalità finita.

Ricorsivamente la costruzione alla Von Neumann si scrive come n+1=n+{n}

Quindi definendo |∅|=0

0 = Ø

0:={}

Seguendo la definizione ricorsiva:

  • 0 = { }
  • 1 = {0} = {{ }}
  • 2 = {0,1} = {0, {0}} = {{ }, {{ }}}
  • 3 = {0,1,2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}

Dato che in generale n={0,…,n-1} la cardinalità |n|=n, m<n⇔m∈n  e  m≤n⇔m ⊆ n e data la validità degli assiomi di Peano concludiamo che n= ℕ.

La costruzione dei numeri naturali secondo Zermelo, datata 1908, si definisce:

0 = Ø           n+1={n}

  • 0 = { }
  • 1 = {0} = {{ }}
  • 2 = {1} = {{{ }}}, …

In ℕ possiamo definire le operazioni + (somma) e x (prodotto) in maniera ben definita, entrambe operazioni commutative ed associative con elemento neutro, rispettivamente, 0 e 1. La sottrazione e la divisione non sono operazioni ben definite in ℕ  in quanto, per la prima dovremmo avere,teoricamente,:

-:ℕ xℕ →ℕ        (a,b)→a-b per ogni a,b∈ℕ

  • – non è ben definita in ℕ (quindi non è un’operazione interna all’insieme) dato che ponendo a=2 e b=4 otteniamo a-b= -2∉ℕ. Affinché sia un’operazione dell’insieme il risultato finale deve ancora appartenere all’insieme di partenza, cosa non verificata per la nostra operazione -.

Per la divisione otteniamo lo stesso risultato in quanto otteniamo un numero razionale che può non appartiene ai naturali.

  • NUMERI REALI

Costruiamo i numeri reali,definiti assiomaticamente come l’unico campo ordinato (*) completo archimedeo (**), in maniera insiemistica con le sezioni di Dedekind (1872).

Partendo dal presupposto, che i numeri reali comprendono i naturali, gli interi e i razionali(si possono definire, i primi, dai naturali secondo la definizione di Dedekind tramite le relazioni di equivalenza,si possono definire, i secondi, dagli interi secondo la definizione di Weber,1895, tramite le relazioni di equivalenza) e gli irrazionali. Avendo definito i naturali, gli interi e i razionali  possiamo pensare che ogni numeri irrazionale x  suddivida Q in due parti che chiamiamo Ldx e Lsx:

Lsx lo definiamo come Lsx={r∈Q: r<x} e Ldx={s∈Q: x<s}

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Lsx e Ldx

Visto che la coppia ordinata (Lsx,Ldx) determina univocamente il numero irrazionale x e che l’unione disgiunta di Lsx e Ldx mi fornisce l’insieme dei razionali Q, una sezione di Dedekind (Lsx – Ldx come d’esempio) è definita come una L⊆Q tale che:

P1. L ≠Ø ≠ Q\L

P2.  ∀r,r’∈Q(r≤r’∈L ⇒r∈L)

P3. ∀r∈L ∃r’∈L(r<r’)

Definiremo così l’insieme dei Reali, ℜ={L∈P(Q) : P1,P2,P3}.

Dove P(Q) è l’insieme delle parti, l’insieme potenza di Q ovvero l’insieme di tutti i sottoinsiemi di Q.

Per esempio il numero irrazionale √nella costruzione dei reali con le sezioni di Dedekind lo si identifica come la coppia (A,B).

{\displaystyle A=\{a\in \mathbb {Q} :a^{2}<2\lor a\leq 0\},}

{\displaystyle B=\{b\in \mathbb {Q} :b^{2}\geq 2\land b>0\}.}

Note

(*)Un campo K è detto ordinato se è presente una relazione d’ordine stretto <

  • irriflessiva a < a per ogni a∈K;
  • transitiva a<b \land   b<c ⇒ a<c per ogni a,b,c∈K;
  • lineare (totale): a≠b ⇒ a<b  v b<a per ogni a,b∈K.

(**) Un campo K è detto archimedeo se e solo se per ogni x che appartiene a K

∀x>0 ∃y∈ℕ\{0}(1/y<x)

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J’Accuse


Correva l’anno 1898 quando Émile Zola pubblicò sul quotidiano socialista L’Aurore l’editoriale ” J’Accuse…!”  per denunciare le illegalità commesse nel processo nei confronti del militare francese Alfred Dreyfus. 800px-J_accuse (1).jpg

Ebbene, dopo 120 anni, all’anniversario dei 70 anni dalla stesura della Carta Costituzionale il “J’Accuse” odierno si orienta contro le carenze di ossigeno nel sistema economico e democratico nel Paese che mettano a repentaglio valori come il diritto al lavoro, alla giustizia sociale, solidarietà e  responsabilità civile.

Nel 1955 Piero Calamandrei in una scuola milanese chiedendo  a cosa possa servire questo «pezzo di carta, che se lo lascio cadere, non si muove» rispose riprendendo l’Articolo 3 della Costituzione:

È compito della Repubblica rimuovere gli ostacoli di ordine economico e sociale, che, limitando di fatto la libertà e l’eguaglianza dei cittadini, impediscono il pieno sviluppo della persona umana e l’effettiva partecipazione di tutti i lavoratori all’organizzazione politica, economica e sociale del Paese.

Quindi dare lavoro a tutti, dare una giusta retribuzione a tutti, dare una scuola a tutti, dare a tutti gli uomini dignità di uomo. Soltanto quando questo sarà raggiunto, si potrà veramente dire che la formula contenuta nell’articolo 1 – L’Italia è una Repubblica democratica fondata sul lavoro – corrisponderà alla realtà. Perché fino a che non c’è questa possibilità per ogni uomo di lavorare e di studiare e di trarre con sicurezza dal proprio lavoro i mezzi per vivere da uomo, non solo la nostra Repubblica non si potrà chiamare fondata sul lavoro, ma non si potrà chiamare neanche democratica (…). E allora voi capite da questo che la nostra Costituzione è in parte una realtà, ma soltanto in parte. In parte è ancora un programma, un ideale, una speranza, un impegno di lavoro da compiere

Poi aggiunse:

Ma c’è una parte della nostra Costituzione che è una polemica contro il presente, contro la società presente. (…) Dà un giudizio, la Costituzione, un giudizio polemico, un giudizio negativo contro l’ordinamento sociale attuale, che bisogna modificare attraverso questo strumento di legalità, di trasformazione graduale, che la Costituzione ha messo a disposizione dei cittadini italiani.

Piero Calamandrei

La Costituzione Italiana, per Calamandrei e per i padri costituenti, non presenta solamente una generica esposizione di principi, ma disegna il senso stesso della collettività indicando le politiche affinché questa possa indirizzarsi al meglio.

L’impronta grossolanamente di stampo Keynesiano  pone il lavoro a fondamento, come principio di ciò che segue e ne dipende: dal lavoro, le politiche economiche; dalle politiche economiche, l’economia. Oggi, assistiamo a un mondo che, rispetto a questa sequenza, è rovesciato: dall’economia dipendono le politiche economiche; da queste i diritti e i doveri del lavoro. (Gustavo Zagrebelsky – Fondata sul lavoro (Einaudi))

L’ex Presidente del Senato Meuccio Ruini, già senatore del Regno d’Italia, durante la seduta parlamentare del 12 marzo 1947 puntualizzò che il lavoro va inteso “nel senso più ampio, cioè comprendente il lavoro intellettuale, il professionista, lo stesso imprenditore in quanto lavoratore qualificato che organizza la produzione e non vive, senza lavorare, di monopoli e privilegi” sottolineando come le teorie economiche ottocentesche non possono reggere in epoca moderna.

Nell’ottobre 1946, alla Costituente, il deputato Mario Cevolotto spiega così come dovrebbe essere il programma economico in linea ai principi costituzionali:” Allo scopo di garantire il diritto al lavoro di tutti i cittadini lo Stato interverrà per coordinare e dirigere l’attività produttiva dei singoli e di tutta la nazione secondo un piano che dia il massimo rendimento per la collettività. Quindi intervento dello Stato nella produzione, intervento cui si arriva attraverso la garanzia del diritto al lavoro … senza un ritorno al liberismo né una regolamentazione totalitaria dell’attività produttiva”.

(Il neoliberismo, l’ideologia alla radice di tutti i nostri problemi – Eunews.it)

(Le false promesse della digitalizzazione – Il Manifesto)

In prospettiva futura il deputato del PCI Renzo Laconi disse:

«Noi non siamo in grado oggi di stabilire delle garanzie e delle sanzioni per la realizzazione di questi diritti, ma qualcosa possiamo fare: noi possiamo fare i principi, possiamo stabilire le direttive entro le quali dovrà orientarsi il legislatore di domani».

“Non si può negare in modo assoluto che un giorno le forze regressive possano avere la prevalenza. Noi abbiamo il dovere di immaginare anche il peggio .

Ora fate l’ipotesi che la nostra rappresentanza fosse completamente eliminata e sedessero in questa Camera solo rappresentanti della Nazione aventi un orientamento regressivo e volessero formare una legge che contrastasse questi diritti al lavoro, li limitasse, li annullasse. La Corte costituzionale dovrebbe dichiararne l’incostituzionalità.

Gustavo Ghidini, avvocato e membro della I legislatura della Repubblica.

Intervento Parlamentare.

( Un nuovo concetto di lavoro per superare il capitalismo

Abbattere la competizione sul lavoro per superare il neoliberismo – Tribuno del Popolo)

(Islanda: parità salario tra uomo e donna – Agenzia Ansa)

(Il reddito di base è il welfare del nuovo secolo – Il Manifesto)

(Lavoro, le 28 ore in Germania? Nel resto d’Europa se ne fanno meno che in Italia. Olanda, settimana lavorativa da 4 giorni – Il Fatto Quotidiano)

E’ necessario ed occorre quindi dar prospettiva andando oltre all’ideale moderno verista dell’ostrica. Nei principi fondamentali della Carta Costituzionale è viva ed è tuttora presenta un’idea di paese e di società per la quale bisognerebbe impegnarsi; “è compito della Repubblica rimuovere…” gli ostacoli che limitano la libertà e l’eguaglianza, “è compito della Repubblica promuovere…” le autonomie locali, ovvietà non scontata dopo il ventennio centralista e totalitarista fascista,il diritto al lavoro, “la Repubblica promuove lo sviluppo della cultura e della ricerca scientifica e tecnica”; e infine promuove le organizzazioni impegnate nella pace e la giustizia internazionale.

Il lavoro, dunque, la cultura e la pace: questi sono i pilastri che la Costituzione ci suggerisce di perseguire.  Una repubblica deve perseguire sempre  i propri valori culturali, le proprie idee del mondo, concetti che tengono unita una comunità anche nelle situazioni di crisi economica-sociale.

La Carta Costituzionale ci suggerisce quindi la strada e l’agenda politica da perseguire, non solo durante il tempo delle elezioni.

La Costituzione, figlia di una scrittura collettiva, ci mostra, quindi, un’eredità e una sfida impegnativa e mai pienamente raggiungibile.

J’Accuse.

F.COLOMBARI.

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Dimostrazioni ed il principio di Induzione


Le tecniche e i metodi dimostrativi rappresentano un requisito fondamentale per il rigorismo ed il formalismo matematico. La dimostrazione è di fondamentale importanza affinché ci si possa convincere della validità del teorema. Quest’ultimo è un’asserzione con la quale si afferma la verità di un enunciato così formato:

α,β,γ, … ⇒ K

dove gli enunciati α,β,γ,…  sono dette ipotesi e K è la tesi.  In assenza di ipotesi si tratta di dimostrare che la tesi K sia sempre vera.

Le ipotesi si effettuano secondo i principi logici ed insiemistici, gli assiomi ( enunciati ritenuti veri dalla maggior parte senza il bisogno di dimostrazione) o altri teoremi.

  • Principali tecniche dimostrative
    • Connettivi e quantificatori

Vale la pena ricordare che dati due enunciati A e B si possono costruire gli enunciati composti tramite i connettivi logici di seguito usati.

 

\land  B letto come “A e B”  \land  → connettivo della congiunzione

Per dimostrare questo enunciato composto bisogna dimostrare sia A che B.

A  \vee B letto come “A e B”   \lor  → connettivo della disgiunzione

Per dimostrare l’enunciato composto con la disgiunzione basta dimostrare A o B.

A ⇒ B letto come “A implica B” o “se A allora B”   ⇒ → connettivo dell’implicazione

Per dimostrare l’implicazione bisogna dedurre B dall’ipotesi A.

A ⇔ B letto come “A se e solo se B”  ⇔ → connettivo dell’equivalenza

L’enunciato composto con l’equivalenza equivale dire (A⇒ B) \land  (B⇒ A), per dimostrarlo basta verificare che sia vera la congiunzione.

¬ A letto come “non A”  ¬ → connettivo della negazione. Per dimostrare la negazione basta raggiungere enunciati falsi e contraddittori partendo da A non negato.

I quantificatori :

∀ x E(x)   significa E(x) per ogni x dove E(x) è un enunciato che dipende da una variabile ( in questo caso x). ∀ → è il quantificatore universale. Esempio: per ogni numero reale y (y∈ℜ) minore di 5 esiste un numero naturale (x∈ℕ) tale che n*5>5 (In realtà questa  è una conseguenza della proprietà di Archimede(**)).

∃ x E(x)  significa “esiste x tale che E(x) oppure E(x) per qualche x”. ∃ → è il quantificatore esistenziale.Esempio: esiste un numero intero razionale (x) tra due numeri interi (E(x)).

  • Dimostrazione per assurdo

Un’altra tecnica dimostrativa riguarda la cosiddetta dimostrazione per assurdo in cui per dimostrare un enunciato generico E ⇔ ¬¬E  (un enunciato E equivale alla sua doppia negazione secondo il principio della logica classica dell’eliminazione della doppia negazione chiamato duplex negatio affirmat). Dimostrare per assurdo E significa ricondurci ad una contraddizione utilizzando solo ¬E, il che significa che è necessario ricondurci alla doppia negazione, ossia E, per non avere la contraddizione.

  • Dimostrazione per induzione

E’ la principale tecnica dimostrativa con la quale si dimostra che un enunciato vale per tutti i naturali maggiore di un n∈ℕ fissato o per tutti i naturali. Il principio di induzione afferma che per procedere alla dimostrazione di un enunciato E(n) si deve procedere :

– dimostrando il caso base  n∈ℕ fissato inizialmente ( Base induttiva);

– dimostrando che ∀n∈ℕ ( E(n) ⇒ E(n+1)) (Passo induttivo) in cui E(n) è chiamata ipotesi induttiva e E(n+1) è la tesi induttiva. Nel passo si utilizza l’ipotesi induttiva, data per vera, per verificare la tesi (come nell’esempio posto sotto).

Esempio di dimostrazione per induzione:

Sia a ≥ −1. Dimostrare che vale la seguente disuguaglianza (chiamata disuguaglianza di Bernoulli):

(1 + a)^k ≥ 1 + k*a             ∀k ∈ ℕ≥ 0. 

Base  k = 0: (1 + a)^0 = 1 + 0  1 = 1 Verificato caso base di partenza.

Passo induttivo k → k+1

Ipotesi induttiva: (1 + a)^k ≥ 1 + k*a

Tesi induttiva:  (1 + a)^(k+1) ≥ 1 + (k+1)*a

(1 + a)^(k+1) =

(1 + a) · (1 + a)^k (1) ≥ (1 + a) · (1 + k*a) = 1 + k*a + a + k*a^2 (2) ≥ 1 +(k + 1)*a

dove in (1) è stata usata l’ipotesi induttiva ed in (2) il fatto che k*a^2 ≥ 0.

Q.E.D.

 Nonostante la loro remotezza dall’esperienza dei sensi, noi abbiamo un qualcosa simile a una percezione anche degli oggetti della teoria degli insiemi, come si può vedere dal fatto che gli assiomi stessi ci forzano a considerarli veri. Non vedo motivo perché dovremmo avere una fiducia minore in questo tipo di percezione, vale a dire l’intuizione matematica, piuttosto che nella percezione sensoriale, che ci induce a costruire teorie fisiche e aspettarci che future sensazioni sensoriali si accordino ad esse.

 Kurt Gödel, matematico, logico e filosofo austriaco 

  • Induzione Forte
Il principio d’induzione forte deriva da una versione con ipotesi più restrittive del quinto assioma di Peano (*), ma equivalente: se T è un sottoinsieme dell’insieme ℕ dei numeri naturali tale che: 
– 0 ∈ T
– se T contiene tutti i  numeri minori di n, allora contiene anche n.
Allora T = 
In formule:
∀ n ∈ ℕ (∀ k ∈ ℕ(k<n ⇒ k ∈ T) ⇒ n ∈ T)
allora T = 
Quindi il principio di induzione forte richiede delle ipotesi più stringenti rispetto al principio di induzione: per richiedere che un enunciato valga per un numero n ∈ ℕ (tesi induttiva) è richiesto che l’enunciato valga su tutti i sui predecessori (ipotesi induttiva).
Rispetto al principio di induzione semplice si osserva che:
  • non abbiamo la distinzione base/passo induttivo: la base dell’induzione è infatti compresa nella formula ∀ n ∈ ℕ (∀ k ∈ ℕ(k<n ⇒ k ∈ T) ⇒ n ∈ T);
  •        l’ipotesi induttiva risulta più stringente.

MathEqns

La matematica è un’arte.
Paul Lockhart

 

 

 

(*) Quinto Assioma di Peano:

Ogni sottoinsieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di ogni proprio elemento coincide con l’intero insieme dei numeri naturali (assioma dell’induzione).

Definiamo,assiomaticamente, i numeri naturali con gli assiomi di Peano:

  1. 0∈ ℕ;
  2. ogni n∈ ℕ ha un suo successore n’∈ ℕ;
  3. ∀ n ∈ ℕ(n’≠0);
  4. ∀ n,m ∈ ℕ(n≠m⇒m’≠n’)
  5. Per ogni S⊆ℕ (Assioma dell’Induzione):
  • 0∈ S;
  • ∀ n∈ (n∈ S⇒n’∈ S) Allora S = ℕ.

(**) Proprietà di Archimede:

Siano a,b ∈ ℜ, sia a < b, allora esiste n ∈ ℕ  tale che n*a>b. 

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Il paradosso dell’Hotel di Hilbert


Il lavoro sulla teoria insiemistica e sulla natura dell’ infinito, presentandone la possibilità di averne di diverse grandezze, proposto da George Cantor (San Pietroburgo, 3 marzo 1845 – Halle, 6 gennaio 1918) non trovò l’assenso dei matematici dell’epoca.

Il matematico tedesco David Hilbert (Königsberg, 23 gennaio 1862 – Gottinga, 14 febbraio 1943),interessandosi al lavoro di Cantor, presentò il paradosso dell’Hotel.

Il paradosso dell’Hotel di Hilbert

Nel paradosso di Hilbert, si fa riferimento ad un ipotetico hotel con infinite camere occupate da infiniti ospiti. L’Hotel essendo al completo, sembrerebbe di non avere più la possibilità di ospitare ulteriori clienti, ma  un infinito numero di ospiti in albergo più un nuovo ospite è ancora un numero infinito di persone.  Il paradosso, riferendosi alle camere numerate di un hotel , si riferisce ai soli numeri naturali (𝑛 ∈ ℕ). Non ci sono camere negative e non ci sono frazioni di una camera. Lo stesso vale per gli ospiti.

Trattiamo ora alcuni casi dell’Hotel di Hilbert.

Un nuovo ospite richiede una stanza. In questo caso il direttore dell’hotel chiede a tutti gli ospiti di passare una stanza avanti.
2 → 3, …, 𝑛 → 𝑛 + 1
Un qualsiasi numero finito di nuovi ospiti potrà trovare una camera,chiedendo a quelli già presenti di spostarsi di 𝑛 camere per farvi posto.

Infiniti nuovi ospiti richiedono infinite stanze. Nel secondo scenario, arrivano infiniti nuovi ospiti. Anche in questo caso si potrebbe procedere come nel caso precedente e accogliere tutti. Nonostante ciò, data l’impazienza degli ospiti si cerca di evitare infiniti spostamenti, si considera un metodo più efficiente con il quale si tratta la possibilità di spostare ogni ospite dalla sua camera nella camera con numero doppio rispetto a quella attuale.

1 → 2, 2 → 4, 3 → 6,…,𝑛→ 2 ∙ 𝑛
In questo caso si liberano per i nuovi ospiti tutte le camere con numero dispari, essendo quest’ultimi infiniti, si risolve il problema.

 

Il paradosso proposto da Hilbert, ha contribuito ad analizzare il lavoro di Cantor facendo comprendere la differenza tra insieme finito ed infinito e le diverse grandezze di infinito (numerabile o non numerabile) aprendo le porte alla moderna aritmetica.

Come si può vedere, in modo elementare dal paradosso, un insieme viene detto numerabile se i suoi elementi sono in numero finito oppure se possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali.

Quindi un insieme è infinito numerabile se e solo se ha la cardinalità di  .

Chi non conosce la matematica difficilmente riesce a cogliere la bellezza, la più intima bellezza, della natura.

R.P. Feynman

F.COLOMBARI.

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Il rumore del silenzio geopolitico


Anno 2018 ecco il mondo alle porte del nuovo anno.

coffee-map-minIl Mondo in breve.

Panoramica delle situazioni principali.

 

 

 

  • EUROPA

L’Unione Europea è alle prese con la Brexit e i suoi relativi accordi, ancora tuttora in corso tra il numero 10 Downing Street Theresa May e il commissario europeo responsabile Michel Barnier, la situazione catalana (visto il risultato del referendum e le ultime elezioni), l’euroscetticismo, pressioni internazionali e diplomatici e una necessità di far fronte ad una riforma dell’organizzazione europea prima della scadenza del mandato della commissione Juncker (come annunciato nell’ultimo discorso sullo Stato dell’Unione). Sul fronte orientale la questione Ucraina, con le continue proteste a Kiev che minano la stabilità dell’attuale governo, non si è risolta e di conseguenza sono gelidi i rapporti tra Mosca e l’Unione Europea.

Germania, via libera accordo per Grosse-Koalition: intesa su sanità, tasse e migranti in vista formazione nuovo Governo Merkel.

Spostandoci in Turchia, i rapporti  tra Ankara di Erdogan e le zone curde sono in crisi sia dai bombardamenti a loro rivolti e sia dall’esito del referendum non legittimato dal governo centrale.

  • MEDIO ORIENTE E AFRICA

Storici sono i conflitti, tuttora in corso, tra paesi arabi e il territorio israeliano e con il recente riconoscimento di Washington di Gerusalemme come capitale. Critica rimane la situazione in Siria con i conseguenti rapporti tra Mosca e Stati Uniti, manifestazioni in Iran per chiedere migliori condizioni economiche. Harare, invece,volta pagina dopo la trentennale presidenza di Mugabe dopo il recente colpo di stato.

Scontri e disordini tra gruppi di giovani manifestanti e forze dell’ordine si sono verificati in varie città tunisine. Le proteste contro l’aumento del costo della vita e la politica di austerity del governo sono spesso degenerate in violenze.

Conflitti locali tra Iran ed Arabia Saudita.

  • AMERICA

E’ stata approvata in maniera definitiva la riforma fiscale americana targata Trump con tagli tasse e politiche neoliberiste. Rimane l’attenzione a Washington per la Corea del Nord e con l’Iran con l’accordo sul nucleare.

25289289_10154973980642382_2064539671712436386_n.jpgLa Casa Bianca ha messo fine al programma umanitario avviato nel 2001 nei confronti dei cittadini del Salvador e che aveva permesso loro di abitare e lavorare negli Stati Uniti,dopo il terremoto del 2001.

Via libera all’accordo CETA tra UE e Canada; il trattato entrato in vigore solo parzialmente in quanto serve l’approvazione di tutte le assemblee europee.

Evo Morales è alla ricerca di un quarto mandato per guidare la Bolivia, crisi economica e tagli alla spesa pubblica in Brasile dopo anni di crescita come economia emergente. Ritorna lentamente a crescere, ma con minore spesa pubblica, tagli alle sovvenzioni  l’Argentina di Macri, quest’ultimo ha ereditato un Paese con un’inflazione che si aggirava intorno al 30% e un deficit pubblico del 5%, mentre il 29% degli Argentini viveva sotto la soglia di povertà.

  • ASIA

Mosca alle prese con le prossime elezioni presidenziali con accuse di possibili brogli ed irregolarità elettorali.

Attenzione concentrata in Corea del Nord con il relativo programma nucleare. La Corea del Nord parteciperà alle Olimpiadi invernali che si terranno dal 9 al 25 febbraio a Pyeongchang, in Corea del Sud, con una delegazione che includerà, oltre agli atleti, anche dirigenti, giornalisti e artisti.

Più di 15mila civili sono stati uccisi da ordigni esplosivi nel 2017, un aumento del 42 per cento in un anno. Lo rivela un’inchiesta dell’ong Action on armed violence. L’ascesa è dovuta soprattutto agli attacchi aerei, che l’anno scorso hanno ucciso quasi il doppio dei civili rispetto al 2016, ed è coincisa con le operazioni militari a guida statunitense a Mosul, in Iraq, e a Raqqa, in Siria.

La geopolitica è una particolare analisi della politica (specialmente la politica estera degli Stati nazionali ma non solo quella), condotta in riferimento ai condizionamenti su di essa esercitati dai fattori geografici: intendendo come tali non solo e non tanto quelli propriamente fisici, come la morfologia dello spazio o il clima, quanto l’insieme delle relazioni di interdipendenza esistenti fra le entità politiche territorialmente definite e le loro componenti.

Carlo Jean, generale e scrittore italiano. 

 

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Carte di Laura Canali. Credit: Limes Italia, rivista italiana di geopolitica

Lo studio delle relazione internazionali è sempre stato strategico nella diplomazia e nella politica estera di ogni nazione.

Lo scacco matto silenzioso della geopolitica tra l’allarme terrorismo, dinamiche sociali ed ambientali implora un nuovo ideale di umanità, capace di fondere un insieme di valori individuali e sociali.

Analogamente al poemetto neoclassico foscoliano:”Le Grazie”, che narra,ricomponendo tutti i temi Ugo_Foscolo.jpgdella poetica foscoliana, il mito delle tre dee, Venere, Vesta e Pallade, condotte sulla terra  per donare all’umanità la bellezza e l’armonia, l’avvento 3227385delle Grazie sulla terra simboleggia il superamento dell’epoca primitiva e l’avvio verso un processo di civilizzazione; la situazione geopolitica attuale implora un ideale foscoliano di umanità, capace di superare le tensioni e gli stereotipi tra i Paesi.

 

F.COLOMBARI.

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Il Papiro di Rhind


I primi utilizzi di numeri e di figure geometriche cominciarono a svilupparsi migliaia di anni prima dell’età ellenistica, durante la quale la matematica divenne una disciplina organizzata ed indipendente.

La matematica empirica dei babilonesi e degli egiziani, utilizzata per diretti scopi pratici nella vita quotidiana (l’agricoltura, il commercio, l’uso del calendario et cetera), priva di metodologia e costruita tramite semplici regole servì per costruire le basi scritte successivamente in epoca ellenistica.

99572.jpgIl papiro di Rhind ( o di Ahmes,  nome dello scriba che lo trascrisse verso il 1650 a.C.)  è il più esteso e antico papiro egizio di natura matematica giunto fino a noi.

Contiene tabelle di frazioni e 84 problemi aritmetici, algebrici e geometrici con le relative soluzioni, formule per aree e procedimenti di moltiplicazione, divisione e operazioni con frazioni a numeratore unitario, nozioni matematiche come numero primo, media aritmetica, media geometrica, media armonica e numeri perfetti.

Il papiro di Rhind contiene anche un metodo per la risoluzione di un’equazione lineare di primo grado.480px-Egyptian_A'h-mosè_or_Rhind_Papyrus_(1065x1330).jpg

Problema aritmetico n° 26

Una quantità, il suo quarto  su di essa fa 15.

Il problema 26 rappresenta una tradizionale equazione lineare di primo grado che oggi scriviamo come:

{\displaystyle x+{\frac {1}{4}}x=15}.

La risoluzione, scritta sul papiro, avviene assegnando un valore provvisorio all’incognita, x = 4, ottenendo l’uguaglianza 4+1=5. Osservando che il rapporto tra il termine noto originario 15 e il risultato ottenuto ponendo con x = 4 è 3, si conclude che anche il rapporto tra le incognite (x e 4) deve essere .

Con il rapporto delle incognite troviamo il valore corretto della x, x= 12 . 

La storia dell’idea di matematica potrebbe riassumersi nella presa di coscienza sempre più netta delle nozioni di rigore e di precisione. Nozioni in sé certamente banali, il cui senso è peraltro costantemente rinnovato e approfondito dal pensiero matematico.

G. Granger, Matematiche in Enciclopedia Einaudi, 1979

Bibliografia

Storia della matematica,Carl B. Boyer, 1990

The British Museum

F.COLOMBARI.

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